Gli "Elementi" di Euclide

Libro IX

INTRODUZIONE AL LIBRO IX

Il Libro IX è la continuazione del Libro VIII. Esso contiene 36 proposizioni. Le definizioni sono quelle introdotte nel Libro VII.


PROPOSIZIONI

Prop. 1: Se due numeri piani simili moltiplicati tra loro producono un certo numero, allora quello che risulta è un quadrato.
Prop. 2: Se due numeri moltiplicati tra loro producono un quadrato, allora sono numeri piani simili.
Prop. 3: Se un numero cubico moltiplicato per se stesso produce un certo numero, allora quello che risulta è un cubo.
Prop. 4: Se un numero cubico moltiplicato per un numero cubico produce un certo numero, allora quello che risulta è un cubo.
Prop. 5: Se un numero cubico moltiplicato per un certo numero produce un numero cubico, allora anche il numero moltiplicato è un cubo.
Prop. 6: Se un numero moltiplicato per se stesso produce un cubo, allora anch'esso è un cubo.
Prop. 7: Se un numero composto moltiplicato per un certo numero produce un certo numero, allora quello che risulta è un solido.
Prop. 8: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, allora il terzo a partire dall'unità è quadrato così come quelli, tralasciandone uno, il quarto è cubo come anche quelli tralasciandone due, e il settimo è cubo e insieme quadrato e lo sono anche quelli tralasciandone cinque.
Prop. 9: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e quello dopo l'unità è un quadrato, allora anche tutti i restanti sono quadrati; e se quello dopo l'unità è cubo, allora anche tutti i restanti sono cubi.
Prop. 10: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, e quello dopo l'unità non è un quadrato, allora nessun altro è un quadrato ad eccezione del terzo e di tutti quelli tralsciandone uno; e, se quello dopo l'unità non è cubo, allora anche nessun altro è cubo, ad eccezione del quarto a partire dall'unità e di tutti quelli tralasciandone due.
Prop. 11: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, allora il minore misura il maggiore secondo un certo numero tra quelli che sussistono nei numeri in proporzione.
Prop. 12: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, allora da quanti numeri primi è misurato l'ultimo, dagli stessi è misurato anche quello dopo l'unità.
Prop. 13: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e quello dopo l'unità è primo, allora quello massimo non è misurato da nessun altro eccetto quelli che si trovano tra i numeri in proporzione.
Prop. 14: Se un numero minimo è misurato da numeri primi, allora non è misurato da nessun altro numero primo tranne quelli che lo misurano in origine.
Prop. 15: Se tre numeri in proporzione continua sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, allora la somma di due qualsiasi è prima rispetto al restante.
Prop. 16: Se due numeri sono primi tra loro, allora il secondo non sta ad un certo altro come il primo al secondo.
Prop. 17: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e i loro estremi sono primi tra loro, allora l'ultimo non sta ad un certo altro numero come il primo al secondo.
Prop. 18: Dati due numeri, investigare se è possibile trovare un loro terzo proporzionale.
Prop. 19: Dati tre numeri, investigare quando è possibile trovare un loro quarto proporzionale.
Prop. 20: I numeri primi sono più di ogni molteplicità assegnata di numeri primi.
Prop. 21: Se quanti si voglia numeri pari sono sommati tra loro, allora la somma è pari.
Prop. 22: Se quanti si voglia numeri dispari sono sommati tra loro, e la loro molteplicità è pari, allora la somma è pari.
Prop. 23: Se quanti si voglia numeri dispari sono sommati tra loro, e la loro molteplicità è dispari, allora la somma è dispari.
Prop. 24: Se da un numero pari si sottrae un pari, allora il restante è pari.
Prop. 25: Se da un numero pari è sottratto un dispari, il restante è dispari.
Prop. 26: Se da un numero dispari è sottratto un dispari, il restante è pari.
Prop. 27: .Se da un numero dispari è sottratto un pari, allora il restante è dispari.
Prop. 28: Se un numero dispari è moltiplicato per un pari, allora il prodotto è pari.
Prop. 29: Se un numero dispari è moltiplicato per un dispari, allora il prodotto è disparii.
Prop. 30: Se un numero dispari misura un numero pari, allora misura anche la sua metà.
Prop. 31: Se un numero dispari è primo rispetto a un certo numero, allora è primo anche rispetto al suo doppio.
Prop. 32: Ciascuno dei numeri ottenuti per raddoppiamento a partire da una diade è pari volte pari soltanto.
Prop. 33: Se la metà di un numero è dispari, allora è pari volte dispari soltanto.
Prop. 34: Se un numero non è ottenuto né per raddoppiamento a partire da una diade né ha la metà dispari, allora è sia pari volte pari che pari volte dispari.
Prop. 35: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e si sottraggono al secondo e all'ultimo numeri uguali al primo, allora l'eccesso del secondo sta al primo come l'eccesso dell'ultimo sta alla somma di tutti quelli prima di lui.
Prop. 36: Se a partire da una unità sono fissati quanti si voglia numeri in proporzione raddoppiata, fino a che la somma di tutti risulta primo, e se la somma moltiplicata per l'ultimo produce un certo numero, allora quello che risulta è perfetto.

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