Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 1

Prop.1: Fissati due numeri disuguali, e sottratto continuamente in successione il minore dal maggiore, se il resto non misura mai completamente quello prima di se stesso, fino a che resti una unità, allora i numeri originari saranno primi tra loro
Dimostrazione
 

Sia il minore di due numeri diversi AB ed CD continuamente sottratto dal maggiore, e il numero che è tolto non misuri mai quello prima di se stesso, fino a che resti un'unità: dico che AB e CD sono primi tra loro, cioè, che una sola unità misuri AB e CD (Def.7-12).

Se AB e CD non sono primi tra loro, allora un certo numero E misura entrambi. CD, misurando BF, dia come resto FA minore di se stesso; AF, misurando DG, dia come resto GC minore di se stesso, e GC, misurando FH, dia come resto un'unità HA.

Poiché, quindi, E misura CD, e CD misura BF, allora anche E misura BF. Ma misura anche BA totale, pertanto misura il restante AF. Ma AF misura DG, anche E misura quindi DG. Ma misura anche DC totale, quindi misura anche il restante CG. E CG misura FH, anche E misura quindi FH. Ma misura anche FA totale, quindi misura il restante, l'unità AH, considerata come numero, il che è impossibile.

Pertanto nessun numero misura i numeri AB e CD. AB e CD sono quindi primi tra loro (Def.7-12).

  Fissati quindi due numeri disuguali, e sottratto continuamente in successione il minore dal maggiore, se il resto non misura mai completamente quello prima di se stesso, fino a che resti una unità, allora i numeri originari saranno primi tra loro.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i tre segmenti
  2. strumento Segmento: disegna il segmento AB su una retta e CD su un'altra retta
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro B e raggio CD tante volte quante CD è contenuto in AB. L'ultima intersezione sia F
  4. strumento Segmento: disegna il segmento AF
  5. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro D e raggio AF tante volte quante AF è contenuto in CD. Sia G l'ultima intersezione.
  6. strumento Segmento: disegna il segmento CG
  7. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro F e raggio CG tante volte quante CG è contenuto in AF. Sia H l'ultima intersezione.
  8. strumento Segmento: disegna il segmento E sulla terza retta

 

Nella notazione moderna la parola "misura" è sostituita dal termine "divide", per cui a misura b, diviene a divide b, a:b.

Questa proposizione assume che 1 sia il risultato dell'algoritmo euclideo (antenaresis), cioè un tipo di sottrazione reciproca, nella quale il numero più piccolo tra due è continuamente sottratto dal maggiore.

Dati due numeri a (AB per Euclide) e b (CD), con a>b, il primo passo è quello di sottrarre ripetutamente b da a fino a trovare c (AF) minore di b. Algebricamente, se a = hb + c dove h indica il numero di volte in cui b è sottratto da a.

Il passo successivo prevede la sottrazione ripetuta di c da b che da un resto d (CG): b = kc + d.

L'algoritmo si arresta quando si ottiene il resto 1: an-1 = hn-1 an + 1. (Nella dimostrazione, an è AH.)

Questa proposizione è utilizzata nella successiva dimostrazione.