Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VI

 

PROPOSIZIONE 1

 

Prop.1: I triangoli e i parallelogrammi che sono sotto la stessa altezza stanno tra loro come le basi
Dimostrazione
 

Siano ACB e ACD triangoli, e CE e CF parallelogrammi sotto la stessa altezza: dico che la base CB sta alla base CD come il triangolo ACB sta al triangolo ACD, e come il parallelogrammo CE sta al parallelogrammo CF.

Si prolunghi BD da una parte e dall'altra fino ai punti H e L (Prop.1-3). Si prenda un numero qualsiasi di rette BG e GH uguali alla base CB, e un numero qualsiasi di rette DK e KL uguali alla base CD. Si congiungano AG, AH, AK, e AL.

E poiché CB, BG, e GH sono uguali tra loro, anche i triangoli ACB, ABG, e AGH sono uguali tra loro (Prop.1-38). Quante volte è multiplo quindi la base CH della base CB, tante volte multiplo è anche il triangolo ACH del triangolo ACB.

Per gli stessi motivi, quante volte multiplo è la base CL della CD, tante volte multiplo sarà il ACL del triangolo ACD. E, se la base CH è uguale alla base CL, allora anche il triangolo ACH è uguale al triangolo ACL (Prop.1-38); se la base CH eccede la base CL, il triangolo ACH eccede il triangolo ACL; e se minore, è minore.

Essendo state prese pertanto quattro grandezze, cioè le due basi CB e CD, e i due triangoli ACB e ACD, equimultipli della base CB e del triangolo ACB, cioè la base CH e il triangolo ACH, e altri, come c├ápita, equimultipli della base CD e del triangolo ADC, cioè la base CL e il triangolo ACL, ed essendo stato provato che, se la base CH eccede la base CL, anche il triangolo ACH eccede il triangolo ACL; se uguale, uguale e se minore, minore. Pertanto la base CB sta alla base CD come il triangolo ACB sta al triangolo ACD (Def.5-5).

Di nuovo, poichè il parallelogrammo CE è doppio del triangolo ACB, e il parallelogrammo FC è doppio del triangolo ACD (Prop.1-41), e le parti hanno lo stesso rapporto dei loro equimultipli (Prop.5-15), il triangolo ACB sta quindi al triangolo ACD come il parallelogrammo CE sta al parallelogrammo FC.

Poiché dunque è stato dimostrato che la base CB sta a CD come il triangolo ACB sta al triangolo ACD, e il triangolo ACB sta al triangolo ACD come il parallelogrammo CE sta al parallelogrammo CF, anche la base CB sta quindi alla base CD come il parallelogrammo CE sta al parallelogrammo FC (Prop5-11).

  I triangoli e i parallelogrammi che sono sotto la stessa altezza stanno quindi tra loro come le basi.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna la retta EF
  2. strumento Punto: segna un punto esterno a EF
  3. strumento Parallela: disegna la retta parallela BD passante per il punto e parallela a EF
  4. strumento Poligono: disegna i triangoli ABC e ACD con A sulla retta F e B,C,D sulla parallela
  5. strumento Parallela: disegna le parallele per D e B a AC, che intersecano la retta EF in E e F
  6. strumento Poligono: disegna i parallelogrammi AEBC e ACDF
  7. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro B e raggio BC, che interseca la retta BD in G, di centro B e raggio BC che interseca in H
  8. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro D e raggio DK, che interseca la retta BD in K, di centro K e raggio DC che interseca in L
  9. strumento Segmento: disegna i segmenti AH, AG, AK, AL

 

Lo scopo della dimostrazione è quello di mostrare che tre rapporti, cioè il rapporto tra i segmenti CB e CD, quello tra i triangoli ACB e ACD, e, infine, quello tra i parallelogrammi CE e CF, sono tutti uguali.

Questa è una delle proposizioni più usate negli Elementi. Viene richiamata più volte nel Libro VI a partire dalla prossima proposizione e poi numerose volte nel Libri X, e alcune volte nei Libri XI e XIII.