Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO V

 

PROPOSIZIONE 2

 

Prop.2: Se una prima grandezza è equimultipla di una seconda, così come una terza di una quarta, e anche una quinta è equimultipla di una seconda così come la sesta lo è della quarta, allora la somma della prima e della quinta è equimultipla della seconda così come la somma della terza e della sesta lo è della quarta
Dimostrazione
 

Sia una prima grandezza AB equimultipla di una seconda C così come una terza DE è di una quarta F, e sia una quinta BG equimultipla della seconda C così come una sesta EH è di della quarta F (Def.5-2): dico che la somma AG della prima e della quinta è equimultipla della seconda, C, così come la somma DH della terza e sesta è della quarta, F.

Poichè AB è equimultiplo di C e DE di F, allora quante grandezze sono in AB uguali a C, tante sono in DE uguali a F. Per gli stessi motivi quante grandezze sono in BG uguali a C tante ve ne sono in EH uguali a F. Quante sono quindi in AG totale uguali a C così tante ve ne sono in DH totale uguali a F.

AG è quindi equimultiplo di C e DH di F. La somma AG della prima e quindi è quindi equimultipla della seconda, C, così come la somma DH della terza e sesta lo è della quarta, F.

  Se una prima grandezza quindi è equimultipla di una seconda, così come una terza di una quarta, e anche una quinta è equimultipla di una seconda così come la sesta lo è della quarta, allora la somma della prima e della quinta è equimultipla della seconda così come la somma della terza e della sesta lo è della quarta.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Segmento: disegna i segmenti C e F
  2. strumento Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti AB = 3C e DE = 3F
  3. strumento Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti BG = 2C e EH = 2F

 

Questa proposizione stabilisce che somme di equimultipli sono equimultiple, cioè, se mc e mf sono equimultiple di c e f, e anche nc e nf sono equimultiple di c e f, allora le somme mc + nc e mf + nf sono pure equimultiple di c e f. La dmostrazione è legata ad una specie di proprietà distributiva, cioè,

(m + n)c = mc + nc.

In questo caso le grandezze non sono tutte omogenee. La figura mostra diversi colori per sottolineare tale aspetto.

Questa proposizione è usata nella Proposizione successiva.