Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO V

 

PROPOSIZIONE 1

 

Prop.1: Se un dato un numero qualsiasi di grandezze che sono, rispettivamente, equimultiple dello stesso numero di altre grandezze, allora la somma è quel multiplo della somma
Dimostrazione
 

Sia dato un numero di grandezze a piacere AB e CD e oguna sia equimultipla di grandezze rispettivamente E e F (Def.5-2): dico che la somma di AB e CD è equimultipla della somma di E e F così come AB lo è di E.

Poichè AB è equimultiplo di E e CD di F, allora vi sono tante grandezze in AB uguali a E quante ve ne sono in CD uguali a F. Si divida AB nelle grandezze AG, GB uguali ad E, e si divida CD in CH, HD uguali ad F. Il numero di grandezze AG e GB è quindi uguale al numero di grandezze CH e HD.

E poiché AG è uguale a E, e CH è uguale a F, la somma di AG e CH è quindi uguale alla somma di E e F. Per gli stessi motivi GB è uguale a E, e la somma di GB e HD è uguale alla somma di E e F. Pertanto, tante grandezze vi sono in AB uguali ad E tante ve ne sono nella somma di AB e CD uguale alla somma di E e F. La somma di AB e CD è quindi equimultipla della somma di E e F come AB lo è di E.

  Pertanto, se un dato un numero qualsiasi di grandezze che sono, rispettivamente, equimultiple dello stesso numero di altre grandezze, allora la somma è quel multiplo della somma.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Segmento: disegna i segmenti E e F
  2. strumento Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti 2E e 2F
  3. strumento Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti E+F e 2E+2F

 

Usando l'attuale notazione algebrica, questa proposizione rappresenta la simmetrica della proprietà distributiva di un insieme con le operazioni di addizione e moltiplicazione (in pratica il raccoglimento a fattor comune)

ma + mb + mc + ... = m(a + b + c + ...)

Qui, m è un numero, e le lettere a, b, c ... sono grandezze omogenee. La dimostrazione di Euclide riguarda il caso più semplice in cui m = 2 e le grandezze considerate sono pure due.

Questa proposizione è usata numerose volte nel Libro V.