Gli "Elementi" di Euclide

Libro V


Il Libro V, basato sull'opera di Eudosso, tratta la teoria dei rapporti e delle proporzioni. Un rapporto indica la dimensione relativa di una grandezza rispetto ad un'altra. Questo Libro fa da supporto alle dimostrazioni del Libro VI che presenta l'applicazione dei rapporti e delle proporzioni alle figure geometriche.
Molti segmenti, tuttavia, non sono commensurabili. Ad esempio non è possibile utilizzare il lato di un quadrato per misurare la sua diagonale. Ciò sembra essere stato scoperto già dai Pitagorici, qualche secolo prima di Euclide.
Si presume che i Pitagorici abbiano avuto una teoria delle proporzioni per le grandezze commensurabili. Il LIbro V estende tale teoria ai rapporti incommensurabili, evitando però i numeri irrazionali.

Il Libro V contiene 18 definizioni e 25 proposizioni. Sebbene le definizioni abbiano una grande importanza, non vi è alcuna definizione di cosa sia una grandezza.
(Alcune proposizioni non sono enunciate con l'esatta traduzione dal greco)

 

DEFINIZIONI

Def.5-1: Una grandezza è parte di una grandezza, la minore della maggiore, quando misuri completamente la maggiore.
Def.5-1: La maggiore è un multiplo della minore, quando è misurata dalla minore.
Def.5-3: Un rapporto è una sorta di relazione rispetto alla quantità fra due grandezze omogenee.
Def.5-4: Sono dette avere un rapporto tra loro quelle grandezze che sono capaci, se moltiplicate, di eccedersi tra loro.
Def.5-5: Grandezze sono dette essere nello stesso rapporto, la prima rispetto alla seconda e la terza rispetto alla quarta, quando, se presi comunque degli equimultipli della prima e della terza e presi comunque degli equimultipli della della seconda e della quarta, i primi equimultipli sono rispettivamente maggiori, uguali o minori dei secondi presi nell'ordine corrispondente.
Def.5-6: Sono dette in proporzione le grandezze che hanno lo stesso rapporto.
Def.5-7: Quando, fra gli equimultipli, il multiplo della prima grandezza supera il multiplo della seconda, ma il multiplo della terza non supera il multiplo della quarta, allora si dice che la prima ha rispetto alla seconda un rapporto maggiore di quello che la terza rispetto alla quarta.
Def.5-8: Una proporzione con tre termini è la minore possibile.
Def-5-9: Quando tre grandezze sono in proporzione, si dice che la prima ha rispetto alla terza il rapporto doppio di quello che essa ha con la seconda.
Def.5-10: Quando quattro grandezze sono continuamente proporzionali, si dice che la prima ha con la quarta il rapporto triplo di quello che ha con la seconda, e così di seguito, qualunque sia la proporzione.
Def.5-11: Si dice che gli antecedenti corrispondono agli antecedenti, e i conseguenti ai conseguenti.
Def.5-12: Si dice rapporto alternato il prendere l'antecedente rispetto all'antecedente e il conseguente rispetto al conseguente.
Def.5-13: Si dice rapporto inverso il prendere il conseguente come antecedente rispetto all'antecedente come conseguente.
Def.5-14: Si dice composizione di un rapporto il prendere l'antecedente più il conseguente come fossero uno solo rispetto al conseguente stesso.
Def.5-15: Si dice divisione di un rapporto il prendere l'eccesso con cui l'antecedente supera il conseguente rispetto al conseguente stesso.
Def.5-16: Si dice conversione di un rapporto il prendere l'antecedente rispetto all'eccesso con cui l'antecedente supera il conseguente.
Def.5-17: Rapporto tramite uguale è, essendo più grandezze e altre uguali in molteplicità, e nello stesso rapporto prese due a due, quando sia, come nelle prime grandezze la prima rispetto all'ultima, così nelle seconde grandezze la prima rispetto all'ultima; o in altro modo: il prendere gli estremi previa rimozione dei medi.
Def.5-18: Si ha una proporzione perturbata quando, essendo tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, risulta come nelle prime grandezze4 antecedente rispetto a consequente, così nelle seconde grandezze antecedente rispetto a conseguente, e come nelle prime grandezze conseguente rispetto a una certa altra grandezza, così nelle seconde una certa altra rispetto ad antecedente.
   

PROPOSIZIONI

Prop. 1: Se un dato un numero qualsiasi di grandezze che sono, rispettivamente, equimultiple dello stesso numero di altre grandezze, allora la somma è quel multiplo della somma.
[In termini algebrici moderni, ma + mb + mc + ... + = m(a + b + c + ...)]
Prop. 2: Se una prima grandezza è equimultipla di una seconda, così come una terza di una quarta, e anche una quinta è equimultipla di una seconda così come la sesta lo è della quarta, allora la somma della prima e della quinta è equimultipla della seconda così come la somma della terza e della sesta lo è della quarta.
Prop. 3: Se una prima grandezza è equimultipla di una seconda così come una terza di una quarta, e se si prendono equimultipli sia della prima che della terza, allora le grandezze prese sono pure, rispettivamente, equimultiple una della seconda e l'altra della quarta. .
Prop. 4: Se il rapporto tra una prima e una seconda grandezza è lo stesso di quello tra una terza e una quarta, allora anche gli equimultipli sia del primo che del terzo rispetto agli equimultipli del secondo e del quarto, per un qualsiasi multiplo dato, avranno lo stesso rapporto presi in ordine corrispondente.
[In termini algebrici moderni, a:b = c:d, allora ma:nb = mc:nd]
Prop. 5: Se una grandezza è equimultipla di una grandezza quanto una parte sottratta lo è di una parte sottratta, allora anche la restante è equimultipla della restante quanto lo è il totale del totale.
Prop. 6: Se due grandezze sono equimultiple di due grandezze, e certe grandezze sottratte da esse sono equimultiple delle stesse, allora le restanti o sono equali alle stesse o sono loro equimultiple.
Prop. 7: Grandezze uguali rispetto alla stessa hanno lo stesso rapporto; e la stessa rispetto a quelle uguali.
Corollario: Se certe grandezze sono in proporzione, allora esse sono anche in proporzione inversa.
Prop. 8: Delle grandezze disuguali, la maggiore rispetto alla stessa ha rapporto maggiore della minore; e la stessa rispetto alla minore ha rapporto maggiore che rispetto alla maggiore.
Prop. 9: Grandezze che rispetto alla stessa hanno lo stesso rapporto sono uguali tra loro; e grandezze rispetto alle quali la stessa ha lo stesso rapporto, sono uguali.
Prop. 10: Delle grandezze che hanno lo stesso rapporto con la stessa, quella che ha un rapporto maggiore è la maggiore; e quella rispetto a cui la stessa ha rapporto maggiore, è minore.
Prop. 11: I rapporti che sono gli stessi dello stesso rapporto, sono gli stessi anche tra loro.
[In termini algebrici moderni, se a/b = c/d e c/d = e/f, allora a/b = e/f].
Prop. 12: Se un qualunque numero di grandezze sono in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti.
[In termini algebrici moderni, se a/b = c/d = e/f, allora a/b = (a + c + e)/(b + d + f)].
Prop. 13: Se una prima grandezza ha con la seconda lo stesso rapporto così come una terza con una quarta, e la terza ha con la quarta un rapporto maggiore che una quinta con una sesta, allora la prima ha con la seconda un rapporto maggiore della quinta con la sesta.
Prop. 14: Se una prima grandezza ha con la seconda lo stesso rapporto così come una terza con una quarta, e la prima è maggiore della terza, allora anche la seconda è maggiore della quarta; qualora è uguale, sarà uguale; se minore, sarà minore.
Prop. 15: Le parti hanno lo stesso rapporto dei loro equimultipli.
Prop. 16: Se quattro grandezze sono in proporzione, allora anche alternando saranno in proporzione.
Prop. 17: Se grandezze composte sono in proporzione, allora esse sono in proporzione anche prese separatamente.
[In termini algebrici moderni, se (a + b)/b = (c - d)/d allora a/b = c/d].
Prop. 18: Se grandezze prese separatamente sono in proporzione, esse sono anche composte in proporzione.
[In termini algebrici moderni, se a/b = c/d, allora (a + b)/b = ( c + d)/d].
Prop. 19: Se un intero sta a un intero come una parte sottratta sta alla parte sottratta, allora la restante sta alla restante come l'intero sta all'intero.
Corollario: Se grandezze composte sono in proporzione, allora anche convertendo saranno in proporzione.
Prop. 20: Se vi sono tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e se tramite uguale la prima è maggiore della terza, allora la quarta è pure maggiore della sesta; se è uguale, sarà uguale, e, se minore, minore.
Prop. 21: Se vi sono tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e la cui proporzione è perturbata, allora, se tramite uguale la prima è maggiore della terza, allora la quarta è pure maggiore della sesta; se è uguale, sarà uguale, e, se minore, minore.
Prop. 22: Se vi sono quante si vuole grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, allora anche tramite uguale sono nello stesso rapporto.
Prop. 23: Se vi sono tre grandezze e altre uguale ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e la cui proporzione è perturbata, allora esse anche tramite uguale sono nello stesso rapporto.
Prop. 24: Se una prima grandezza ha con una seconda lo stesso rapporto come una terza con una quarta, e anche una quinta ha con una seconda lo stesso rapporto così come una sesta con una quarta, allora la somme della prima e quinta ha lo stesso rapporto con la seconda così come la somma della terza ha con la quarta.
Prop. 25: Se quattro grandezze sono in proporzione, allora la somma della maggiore e della minore è maggiore della somma delle due restanti.

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