Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 13

 

Prop.13: Nel pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, inscrivere un cerchio
Dimostrazione
 

Sia il pentagono dato ABCDE sia equilatero che equiangolo: nel pentagono ABCDE si deve pertanto inscrivere un cerchio.

Si sechino a metà gli angoli BCD e CDE rispettivamente con le rette CF e DF (Prop.1-9). Si congiungano le rette FB, FA, e FE dal punto F nel quale le rette CF e DF si intersecano.

E poiché BC è uguale a CD, e CF è in comune, i due lati BC e CF sono uguali ai due lati DC e CF, e l'angolo BCF è uguale all'angolo DCF; la base BF è quindi uguale alla base DF, e il triangolo BCF è uguale al triangolo DCF, e gli angoli restanti sono uguali agli angoli restanti, cioè quelli opposti ai lati uguali (Prop.1-4). Pertanto l'angolo CBF è uguale all'angolo CDF.

E poiché l'angolo CDE è doppio dell'angolo CDF, l'angolo CDE è uguale all'angolo ABC, e l'angolo CDF all'angolo CBF, allora anche l'angolo CBA è doppio dell'angolo CBF. L'angolo ABF è quindi uguale all'angolo FBC. L'angolo ABC risulta quindi secato a metà dalla retta BF. Analogamente si può dimostrare che anche gli angoli BAE e AED sono secati a metà rispettivamente dalle rette FA e FE.

Si conducano ora FG, FH, FK, FL, FM dal punto F perpendicolari alle rette AB, BC, CD, DE, EA (Prop.1-12).

E poiché l'angolo HCF è uguale all'angolo KCF, e anche l'angolo retto FHC è uguale all'angolo FKC, FHC e FKC sono due triangoli aventi due angoli uguali a due angoli e un solo lato, quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, uguale a un solo lato, cioè FC comune ad essi (Prop.1-26); avranno pertanto anche i lati restanti uguali ai lati restanti. La perpendicolare FH è quindi uguale alla perpendicolare FK.

Analogamente si dimostra che ognuna delle rette FL, FM, FG sono pure uguali a una e all'altra delle rette FH e FK; le cinque rette FG, FH, FK, FL, FM sono quindi uguali tra loro. Pertanto il cerchio tracciato di centro F e raggio una delle rette FG, FH, FK, FL, FM passa anche per i restanti punti, ed è tangente alle rette AB, BC, CD, DE, EA, poiché gli angoli nei punti G, H, K, L, M sono retti.

Se infatti non è tangente ad esse, ma le seca, ne consegue che la retta condotta ad angoli retti col diametro del cerchio dal sui estremo cade dentro il cerchio, il che è stato dimostrato assurdo (Prop.3-16).

Non si darà quindi il caso che il cerchio tracciato con centro F e raggio una delle rette FG, FH, FK, FL, FM sechi le rette AB, BC, CD, DE, EA: sarà quindi tangente a esse. Risulti tracciato e sia GHKLM.

  Nel pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, risulta quindi inscritto un cerchio.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Poligono regolare: disegna il pentagono ABCDE
  2. strumento Bisettrice: disegna la bisettrice degli angoli BCD e CDE, che si intersecano in F
  3. strumento Segmento: congiungi F con tutti i vertici del pentagono
  4. strumento Perpendicolare: disegna le perpendicolari da F a tutti i lati del pentagono
  5. strumento Circonferenza: disegna la circonferenza di centro F e raggio FG

 

La procedura introdotta può essere utilizzata anche per inscrivere un poligono regolare di n lati.