Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 1

 

Prop.1: Nel cerchio dato adattare una retta uguale alla retta data, che non è maggiore del diametro del cerchio
Dimostrazione
 

Sia dato il cerchio ABC e la retta D non maggiore del diametro del cerchio: si deve pertanto adattare nel cerchio ABC una retta uguale alla retta D.

Si conduca un diametro BC del cerchio ABC. Se BC è uguale a D, allora risulta quanto richiesto, essendo stato infatti BC adattato nel cerchio ABC uguale alla retta D.

Ma, se BC è maggiore di D, si prenda CD uguale a D (Prop.1-3) e si descriva il cerchio EAF di centro C e raggio CE e si congiunfa CA.

Poiché il punto C è il centro del cerchio EAF, CA è uguale a CE. Ma CE è uguale a D; anche D è quindi uguale a CA.

  Nel cerchio dato ABC risulta quindi adattata una retta CA uguale alla retta data D.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna il cerchio ABC
  2. strumento Segmento: disegna il diametro BC
  3. strumento Segmento di data lunghezza: disegna un segmento uguale al diametro e su tale segmento segna un punto e congiungilo con un estremo del segmento: questo sarà il segmento D, minore del diametro
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro C e raggio D; essa interseca la prima circonferenza in A e il diametro BC in E
  5. strumento Segmento: disegna il segmento AC

 

L'ipotesi che la retta da adattare nel cerchio non sia maggiore di un diametro del cerchio è certamente necessaria, ma Euclide non ne mostra la sufficienza. Non si dimostra che i due cerchi si intersecano in un punto.

La proposizione è utilizzata nelle proposizioni Prop.4-10 e Prop.4-16.