Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO III

 

PROPOSIZIONE 1

 

Prop.1: Trovare il centro del cerchio dato
Dimostrazione
 

Sia dato il cerchio ABC: si deve pertanto trovare il centro del cerchio ABC.

Si conduca oltre in esso, come càpita, una retta AB, e la si sechi a metà nel punto D (Prop.1-10), e da D perpendicolarmente a AB si conduca oltre fino a E (Prop.1-11), e si sechi CE a metà nel punto F (Prop.1-10): dico che F è il centro del cerchio ABC.

Per ipotesi non è, ma se possibile sia G il centro. Si congiunga GA, GD, GB.

Poiché AD è uguale a DB, e DG è in comune, i due lati AD e DG sono uguali rispettivamente ai due lati BD e DG; e la base GA è uguale alla base GB (Prop.1-8), sono infatti raggi, l'angolo ADG è quindi uguale all'angolo GDB.

E quando una retta che sta su una retta forma angoli adiacenti uguali tra loro, l'uno e l'altro degli angoli uguali è retto: GDB è quindi retto (Def.1-10). Ma anche l'angolo FDB è retto; l'angolo FDB è quindi uguale all'angolo GDB, il maggiore al minore; il che è impossibile. G non è pertanto il centro del cerchio ABC. Analogamente si dimostra che non lo è nessun altro punto tranne F.

  Il punto F è quindi il centro del cerchio ABC..
   
Corollario
  Da ciò è manifesto che, qualora in un cerchio una certa retta seca a metà e ad angoli retti una certa retta, il centro del cerchio sta su quella retta che seca

.

 

 

La costruzione con GeoGebra:
  1. strumento Circonferenza per tre punti: disegna il cerchio AB
  2. strumento Segmento: disegna il segmento (corda) AB
  3. strumento Punto Medio: traccia il punto medio di AB, D
  4. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla corda AB e passante per D, che interseca la circonferenza nei punti C ed E
  5. strumento Punto Medio: traccia il punto medio F di CE.
  6. strumento Punto: traccia il punto G interno al cerchio
  7. strumento Segmento: disegna i segmenti AG, BG, DG

 

La scelta di un eventuale punto G come centro, presente nella dimostrazione, è giustificata dalla definizione di cerchio che prevede l'esistenza di un centro.

In questa dimostrazione il punto G si trova sull'asse di AB. G non può che essere il punto F dovendo essere equidistante dai punti C ed E. Da ciò deriva che il centro è unico.

Il corollario è utilizzato nelle proposizioni Prop.3-9 e Prop.3-10.