Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO II

 

PROPOSIZIONE 7

 

Prop.7: Qualora una linea retta sia secata come càpita, il quadrato su quella totale e quello su uno dei segmenti, messi insieme, sono uguali sia a due volte il rettangolo compreso da quella totale e dal detto segmento sia al quadrato sul restante segmento
Dimostrazione
 

Si sechi la retta AB come capita nel punto C: dico che la somma dei quadrati su AB e BC, è uguale sia al doppio del rettangolo AB per BC sia al quadrato su CA.

Si descriva su AB il quadrato ADEB (Prop.1-46) e si tracci completamente la figura (Prop.1-31).

Poiché AG è uguale a GE, si sommi CF comune: AF totale è uguale a CE totale (Prop.1-43). Pertanto la somma di AF e CE è doppia di AF. Ma la somma di AF e CE è uguale allo gnomone KLM più il quadrato CF, pertanto lo gnomone KLM più il quadrato CF è doppio di AF. Ma due volte il rettangolo AB per BC è pure doppio di AF, BF è infatti uguale a BC, pertanto lo gnomone KLM più il quadrato CF è uguale al doppio del rettangolo AB per BC.

Si sommi DG comune, che è uguale al quadrato su AC: lo gnomone KLM più la somma dei quadrati BG e GD è quindi uguale sia al doppio del rettangolo AB per BC sia al quadrato su AC.

Ma lo gnomone KLM più la somma dei quadrati BG, GD è uguale alla somma di ADEB totale più CF, che sono quadrati descritti su AB e BC. Pertanto la somma dei quadrati su AB e BC è uguale a due volte il rettangolo AB per BC più il quadrato su CA.

 

  Qualora una linea retta sia secata come càpita, il quadrato su quella totale e quello su uno dei segmenti, messi insieme, sono uguali sia a due volte il rettangolo compreso da quella totale e dal detto segmento sia al quadrato sul restante segmento.

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La costruzione con Geogebra è del tutto simile alle precedenti.

Ripetizione della descrizione del quadrato su AB e delle altre costruzioni.

 

Se x = AB, y = AC e z = CB, allora la proposizione afferma che se x = y + z, allora x2 + z22 = 2xz + y22. Si può riscrivere in forma più semplice

x22 + z22 = 2xz + (x – z)22

Questa proposizione è usata in Prop.2-13.