Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO II

 

PROPOSIZIONE 5

 

Prop.5: Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dai segmenti disuguali della retta totale più il quadrato su quella tra le due sezioni è uguale al quadrato sulla metà
Dimostrazione
 

Si sechi la retta AB in segmanti uguali nel punto C e in disuguali in D: dico che il rettangolo AD per DB più il quadrato su CD è uguale al quadrato su CB.

Si descriva su CB il quadrato CEFB (Prop.1-46); si congiunga B con E, e per D si conduca la parallela DG a una o all'altra delle CE, BF, e per H si conduca la parallela KM all'una o all'altra delle AB, EF, e di nuovo per A si conduca la parallela AK all'una o all'altra delle CL, BM (Prop.1-31).

Poiché il completamento CH è uguale al completamento HF, si sommi DM comune; CM totale è quindi uguale a DF totale (Prop.1-43). Ma CM è uguale a AL poiché anche AC è uguale a CB; anche AL è quindi uguale a DF (Prop.1-36).

Si sommi CH comune: AH totale è quindi uguale allo gnomone NOP (Def.1-2). Ma AH è il rettangolo AD per DB, DH è infatti uguale a DB; anche lo gnomone NOP è quindi uguale al rettangolo AD per DB.

Si sommi LG comune, che è uguale al quadrato su CD: la somma dello gnomone NOP e LH è uguale alla somma del rettangolo AD per DB e del quadrato su CD. Ma lo gnomone NOP insieme con LG è l'intero quadrato CEFB, che è descritto su CB: il rettangolo AD per DB insieme al quadrato su AD è quindi uguale al quadrato su CB.

  Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dai segmenti disuguali della retta totale più il quadrato su quella tra le due sezioni è uguale al quadrato sulla metà.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Segmento: disegna il segmento AB
  2. strumento Punto Medio: segna C, il punto medio di AB
  3. strumento Punto: traccia il punto D su AB
  4. Strumento Poligono regolare: costruzione del quadrato CBFE su CB
  5. strumento Segmento: disegna la diagonale BE
  6. strumento Parallela: disegna la parallela a DG passante per D, che interseca la diagonale in H e il lato DE in G
  7. strumento Parallela: disegna la parallela a CE passante per A
  8. strumento Parallela: disegna da H la parallela alla retta AB che interseca il lato BF in M, la parallela AK in K e CE in L
  9. strumento Poligono: disegna il rettangolo ACLK e il quadrato LHGE

 

Possiamo rappresentare algebricamente un rettangolo come xy, di lati x e y. Nella costruzione sia posto x = AD e y = DH. Nell'enunciato si dice che il rettangolo (xy) è uguale alla differenza tra due quadrati, quello su BC uguale a (x + y)/2 e quello su LH uguale a (x – y)/2, (uguale al quadrato su CD); cioè

xy = (x + y)2 /2 - (x - y)2 /2

Questa proposizione è usata in Prop.2-14.