Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO II

 

PROPOSIZIONE 1

 

Prop.1: Qualora siano due rette, e l'una o l'altra di esse sia secata in quanti mai si voglia segmenti, il rettangolo compreso dalle due rette è uguale ai rettangoli compresi dalla retta non secata e da ciascuno dei segmenti
Dimostrazione
 

Siano A, BC due rette, e sia stata secata BC, in un modo qualsiasi, secondo i punti D, E: dico che il rettangolo compreso da A e BC è uguale al rettangolo coompreso da A e BD, a quello copreso da A e DE, e a quello compreso da A e EC.

Si conduca infatti da B perpendicolare a BC una retta BF (Prop.1-11), e si ponga A uguale a BG (Prop.1-13), e per G si conduca la retta GH parallela a BC, e per i punti D, E, C si conducano le parallele a DK, EL, CH (Prop.1-31).

BH è pertanto uguale a BK, DL e EH. Ed è BH il rettangolo compreso da A e BC, è infatti compreso da GB, BC e BG è uguale a A; e BK è quello compreso da A e BD, è infatti tra GB, BD e BG è uguale ad A (Prop.1-34).

DL è quello compreso da A, DE, DK, cioè BG, è infatti uguale ad A. E analogamente, EH è quello compreso da A e EC: quello da A, BC è quindi uguale sia a quello compreso da A, BD che a quello da A e DE e anche a quello da A e EC.

 

  Qualora siano due rette, e l'una o l'altra di esse sia secata in quanti mai si voglia segmenti, il rettangolo compreso dalle due rette è uguale ai rettangoli compresi dalla retta non secata e da ciascuno dei segmenti.

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La costruzione con GeoGebra:
  1. strumento Segmento: disegna il segmento A
  2. strumento Retta: disegna la retta BC
  3. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare BF alla retta BC e passante per B
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro B è raggio A, che interseca BF in G
  5. strumento Punto: traccia a caso i punti D e E interni al segmento BC
  6. strumento Parallela: disegna da G la parallela alla retta BC
  7. strumento Parallela: disegna le parallele a BG passanti per D, E, C, che intersecano la parallela a BC nei punti K, L, H
  8. strumento Poligono: disegna i parallelogrammi BDKG, DELK, ECHL

 

La frase "il rettangolo compreso da due rette" significa il rettangolo avente come lati.... Il rettangolo può essere quindi inteso come il prodotto di due segmenti.

In questa proposizione si dimostra che se BC = BD + DE + EC, allora (A per BC) = (A per BD) + (A per DE) + (A per EC).

In notazione algebrica moderna: se m = m1 + m2 + ... + mn, allora xm = xm1 + xm2 + ... + xmn. Raccogliendo a fattor comune

x (m1 + m2 + ... + mn) = xm1 + xm2 + ... + xmn.

Questa non è altro che la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.