Gli "Elementi" di Euclide

Libro II


INTRODUZIONE AL LIBRO II

Il Libro II contiene 2 definizioni e 14 proposizioni.

Il soggetto del Libro II è usualmente indicato come "algebra geometrica." Le prime dieci proposizioni possono essere facilmente interpretate mediante la moderna notazione algebrica.

Le dimostrazioni delle proposizioni sono strettamente legate a quelle del Libro I riguardano soprattutto angoli retti e rette parallele.


DEFINIZIONI

Def. 1: Ogni parallelogrammo rettangolo è detto essere compreso dalle due rette che comprendono l'angolo retto.
Def. 2: E di ogni parallelogrammo, uno solo quale si voglia dei parallelogrammi attorno alla sua diagonale insieme con i due completamenti sia chiamato gnomone.
   

PROPOSIZIONI

Prop. 1: Qualora siano due rette, e l'una o l'altra di esse sia secata in quanti mai si voglia segmenti, il rettangolo compreso dalle due rette è uguale ai rettangoli compresi dalla retta non secata e da ciascuno dei segmenti
Prop. 2: Qualora una retta sia secata come capita, il rettangolo compreso dalla retta totale e da uno e dall'altro dei segmenti è uguale al quadrato su quella totale
Prop. 3: Qualora una linea retta sia secata a caso, il rettangolo compreso dalla retta totale e uno solo dei segmenti è uguale sia al rettangolo compreso dai segmenti sia al quadrato sul predetto segmento
Prop. 4: Qualora una linea retta sia secata a caso, il quadrato sulla retta totale è uguale sia ai quadrati sui segmenti che a due volte il rettangolo compreso dai segmenti
Prop. 5: Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dai segmenti disuguali della retta totale più il quadrato su quella tra le due sezioni è uguale al quadrato sulla metà.
Prop. 6: Qualora una linea retta sia secata a metà, e una certa retta sia sommata ad essa in linea retta, il rettangolo compreso da quella totale insieme con quella sommata e da quella sommata più il quadrato sulla metà è uguale al quadrato su quella composta sia dalla metà sia da quella sommata
Prop. 7: .Qualora una linea retta sia secata a caso, il quadrato su quella totale e quello su uno dei segmenti, messi insieme, sono uguali sia a due volte il rettangolo compreso da quella totale e dal detto segmento sia al quadrato sul restante segmento.
Prop. 8: Qualora una linea retta sia secata a caso, quattro volte il rettangolo compreso da quella totale e da uno solo dei segmenti più il quadrato sul restante segmento è uguale al quadrato descritto sia su quella totale che sul detto segmento come su una sola retta
Prop. 9: Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, i quadrati sui segmenti disuguali della retta totale sono doppi sia del quadrato sulla metà sia di quello sulla retta tra le sezioni
Prop. 10: Qualora una linea retta sia secata a metà, e una certa retta sia sommata a essa in linea retta, il quadrato sulla retta totale insieme con quella sommata e quello su quella sommata, i quadrati messi insieme, sono doppi sia di quello sulla metà sia del quadrato descritto su quella composta sia dalla metà che da quella sommata come su una sola retta
Prop. 11: Secare la retta data in modo che il rettangolo compreso da quella totale e dall'uno o dall'altro dei segmenti uguale al quadrato sul restante segmento
Prop. 12: Nei triangoli ottusangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo ottuso è maggiore dei quadrati sui lati che comprendono l'angolo ottuso per due volte il rettangolo compreso da uno solo dei lati intorno all'angolo ottuso, quello su cui cade la perpendicolare, e dalla retta staccata all'esterno dalla perpendicolare all'angolo ottuso
Prop. 13: Nei triangoli acutangoli il quadrato sul lato che sottende l'angol oacuto è minore dei quadrati sui lati che comprendono l'angolo acuto per due volte il rettangolo compreso da uno solo dei lati intorno all'angolo acuto, quello su cui cade la perpendicolare, e dalla retta staccata all'interno dalla perpendicolare all'angolo acuto
Prop. 14: Costruire un quadrato uguale alla figura rettilinea data

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