Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XIII

 

PROPOSIZIONE 1

Prop.1: Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, allora il quadrato sul segmento maggiore aggiunto a metà del totale è cinque volte il quadrato sulla metà
Dimostrazione
 

Una linea retta AB sia secata nel rapporto estremo e medio nel punto C e sia AC il segmento maggiore e si prolunghi in linea retta con CA una retta CD e sia posta AD uguale alla metà di AB: dico che il quadrato su CD è quintuplo del quadrato su DA.

Si costruiscano i quadrati AE e DF su AB e DC, e si completi la figura in DF, e si conduca oltre FC fino a G (Def.1-46). E poiché AB è secato nel rapporto estremo e medio in C, allora il rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su AC. E CE il rettangolo AB per BC, e FH è il quadrato su AC, pertanto CE è uguale a FH (Prop.6-17).

E poiché BA è doppia di AD, mentre BA è uguale a KA, e AD è uguale a AH, allora anche KA è doppia di AH. Ma KA sta a AH come CK sta a CH, pertanto CK è doppio di CH. Ma anche la somma di LH e HC è doppia di CH. KC è quindi uguale alla somma di LH e HC (Prop.6-1).

Ma anche CE è stato provato uguale a HF, pertanto il quadrato totale AE è uguale allo gnomone MNO. E poiché BA è doppio di AD, allora il quadrato su BA è quadruplo del quadrato su AD, cioè, AE è quadruplo di DH. Ma AE è uguale allo gnomone MNO, pertanto anche lo gnomone MNO è quadruplo di AP. DF totale è quindi cinque volte AP. Ma DFè il quadrato su DC, e AP il quadrato su DP, pertanto il quadrato su CD è cinque volte il quadrato su DA.

  Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, allora il quadrato sul segmento maggiore aggiunto a metà del totale è cinque volte il quadrato sulla metà.

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La costruzione con Geogebra:
  1. per la divisione del segmento si fa riferimento alla costruzione della Prop.6-30
    1. strumento Segmento: disegna il segmento AB
    2. strumento Poligono regolare: disegna il quadrato su AB
    3. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro A e raggio uguale ad AB per la semidifferenza tra la radice di 5 e 1. Tale circonferenza interseca AB in C
  2. strumento Retta: disegna la retta per AB
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento AD = AB/2
  4. strumento Poligono regolare: disegna i quadrati AE e DF
  5. strumento Retta: disegna il prolungamento di KA e di FC
  6. strumento Segmento: disegna il segmento DF che interseca la diagonale in H
  7. strumento Parallela: la parallela per H a AB
  8. strumento Angolo: disegna l'angolo ONM