Gli "Elementi" di Euclide

Libro XIII


INTRODUZIONE AL LIBRO XIII

Il Libro XIII tratta in modo particolare come inscrivere i cinque poliedri regolari in una sfera e come valutare il rapporto tra gli spigoli di tali poliedri e il diametro della sfera che li contiene. Le prime sei proposizioni riguardano la cosiddetta sezione aurea di un segmento. Queste proposizioni servono poi per costruire i suddetti poliedri regolari.

Il Libro XIII contiene 18 proposizioni.

PROPOSIZIONI

Prop. 1: Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, allora il quadrato sul segmento maggiore aggiunto a metà del totale è cinque volte il quadrato sulla metà
Prop. 2: Se il quadrato su una retta è cinque volte il quadrato su un segmento su di essa, allora, quando il doppio del detto segmento è secato nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è la parte restante della retta in origine
Prop. 3: Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, allora il quadrato sulla somma del segmento minore e della meta del segmanto maggiore è cinque volte il quadrato sulla metà del segmento maggiore
Prop. 4: Se un segmento è secato nel rapporto estremo e medio, allora la somma dei quadrati sul totale e sul segmento minore è tripla del quadrato sul segmento maggiore
Prop. 5: Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, ed è sommata ad essa un retta uguale al segmento maggiore, allora la retta totale risulta secata nel rapporto estremo e medio, e la retta in origine è il segmento maggiore
Prop. 6: Se una retta razionale è secata nel rapporto estremo e medio, allora ognuno dei segmenti è la retta irrazionale detta apotome
Prop. 7: Se tre angoli di un pentagono equilatero, o quelli consecutivi oppure quelli non consecutivi, sono uguali, allora il pentagolo è equiangolo
Prop. 8: Se in un pentagono equilatero e equiangolo rette sottendono due angoli consecutivi, allora si secano tra loro nel rapporto estremo e medio, e i loro segmenti maggiori sono uguali al lato del pentagono
Prop. 9: Se il lato dell'esagono e quello del decagono inscritti nello stesso cerchio sono sommati, allora la retta totale risulta secata nel rapporto estremo e medio, e il suo segmento maggiore è il lato dell'esagono
Prop. 10: Se un pentagono equilatero è inscritto in un cerchio, allora il quadrato sul lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati sui lati dell'esagono e del decagono inscritti nello stesso cerchio
Prop. 11: Se un pentagono equilatero è inscritto in un cerchio che ha il diametro razionale, allora il lato del pentagono è la retta irrazionale chiamata minore
Prop. 12: Se un triangolo equilatero è inscritto in un cerchio, allora il quadrato del lato del triangolo è triplo del quadrato del raggio del cerchio
Prop. 13: Costruire e circondare con una sfera una piramide e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è una volta e mezzo il quadrato sul lato della piramide
Prop. 14: Costruire e circondare con una sfera un ottaedro, come nel caso precedente, e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è doppio del quadrato sul lato dell'ottaedro
Prop. 15: Costruire e circondare con una sfera un cubo, come la piramide e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è triplo del lato del cubo
Prop. 16: Costruire e circondare con una sfera, come per le precedenti figure, e dimostrare che il quadrato sul lato dell'icosaedro è la retta irrazionale chiamata minore.
Corollario: Il quadrato sul diametro della sfera è cinque volte il quadrato sul raggio del cerchio su cui risulta descritto l'icosaedro, e il diametro della sfera è composto dal lato dell'esagono e da due dei lati del decagono inscritto nello stesso cerchio.
Prop. 17: Costruire e circondare con una sfera un dodecaedro, come nelle predette figure e dimostrare che il quadrato sul lato del dodecaedro è la retta irrazionale chiamata apotome.
Corollario: Se il lato del cubo è secata nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è il lato del dodecaedro.
Prop. 18: Fissare e confrontare tra loro i lati delle cinque figure.
Lemma: L'angolo del pentagono equilatero e equiangolo è un retto e un quinto.

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