Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XII

 

PROPOSIZIONE 7

Prop.7 Ogni prisma con una base triangolare si divide in tre piramidi uguali tra loro con basi triangolari
Dimostrazione
 

Sia ABCDEF un prisma, la cui base è il triangolo ABC e DEF il suo opposto: dico che il prisma ABCDEF si divide in tre piramidi uguali tra loro che hanno basi triangolari.

Poiché ABED è un parallelogramma, e BD una sua diagonale, allora il triangolo ABD è uguale al triangolo EBD (Prop.1-34). La piramide con base triangolare ABD e vertice C è quindi uguale alla piramide con base triangolare DEB e vertice C (Prop.12-5).

Ma la piramide con base triangolare DEB e vertice C è la stessa della piramide con base triangolare EBD e verticeD, sono infatti comprese dagli stessi piani. La piramide con base triangolare ABD e vertice C è quindi uguale alla piramide con base triangolare EBC e vertice D.

Di nuovo, poiché FCBE è un parallelogrammo, e CE una sua diagonale, allora il triangolo CEF è uguale al triangolo CBE (Prop.1-34). La piramide con base triangolare BCE e vertice D è quindi uguale alla piramide con base triangolare ECF e vertice D (Prop.12-5).

Ma la piramide con base triangolare BCE e vertice D è stata mostrato uguale alla piramide con base triangolare ABD e vertice C, pertanto la piramide con base triangolare CEF e vertice D è uguale alla piramide con base triangolare ABD e vertice C. Il prisma ABCDEF risulta quindi diviso in tre piramidi uguali tra loro con basi triangolari.

E poiché la piramide con base triangolare ABD e vertice C è la stessa della piramide con base triangolare CAB e vertice D, sono infatte comprese dagli stessi piani, mentre la piramide con base triangolare ABD e vertice C è stata mostrata essere un terzo del prisma con base triangolare ABC e DEF come opposta, allora la piramide con base triangolare ABC e vertice D è un terzo del prisma con la stessa base ABC, e DEF come opposta.

   
Corollario Ogni piramide è la terza parte del prisma con la stessa base e sotto la stessa altezza

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Poligono: disegna il triangolo di base ABC
  2. strumento Parallele: disegna il triangolo opposto DEF
  3. strumento Segmento: disegna i segmenti EB, CF, AD, CE CD