Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XII

 

PROPOSIZIONE 17

Prop.17 Date due sfere intorno alla stesso centro, inscrivere nella sfera maggiore un solido poliedrico che non tocchi la superficie della sfera minore
Dimostrazione
 

Siano due sfere attorno allo stesso centro A: nella sfera maggiore si deve pertanto inscrivere un solido poliedrico che non tocchi la sfera minore secondo la superficie.

Si sechino le sfere con un certo piano per il centro. Le sezioni saranno pertanto cerchi, poiché stando fermo il diametro e ruotando il semicerchio risulta proprio la sfera: così che, anche, secondo quale posizione concepiamo il semicerchio, il piano prolungato per esso produce un cerchio sulla superficie della sfera (Def.11-14).

Ed è manifesto che questo cerchio è anche massimo, poiché è appunto il diametro della sfera, che è naturalmente anche il diametro del semicerchio e del cerchio, è maggiore di tutte le rette condotte oltre nel cerchio o nella sfera. Sia dunque BCDE il cerchio nella sfera maggiore, e FGH il cerchio nella sfera minore. Si conducano due loro diametri, BD e CE, ad angoli retti tra loro (Prop.1-11).

Allora, dati i due cerchi BCDE e FGH attorno allo stesso centro, si inscriva nel cerchio maggiore BCDE un poligono equilatero e con lo stesso numero di lati che non tocchi il cerchio minore FGH (Prop.13-16). Siano BK, KL, LM, ME i suoi lati nel quadrante BE. Si congiunga KA e si la conduca oltre fino a N. Si eriga AO dal punto A ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE, e incontri la superficie della sfera in O (Prop.11-12).

si prolunghino piani per AO e per ognuna delle rette BD e KN. Per le cose dette faranno pertanto cerchi massimi sulla superficie della sfera. Li facciano, semicerchi dei quali sui diametri BD e KN siano BOD e KON. E poiché OA è ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE, allora anche tutti i piani per OA sono ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE (Prop.11-18). Così che anche i semicerchi BOD e KON sono ad angoli retti con il piano per il cerchio BCDE.

E poiché i semicerchi BED, BOD, KON sono uguali, sono infatti sui diametri uguali BD e KN, allora i quadranti BE, BO, KO sono uguali tra loro. Quanti lati del poligono sono quindi nei quadranti BO e KO, tanti ve ne sono anche nei quadranti BO e KO uguali alle rette BK, KL, LM, ME.

Siano inscritti e siano BP, PQ, QR, RO, KS, ST, TU, UO (Prop.4-1). Si congiungano SP, TQ, UR, e si conducano le perpendicolari da P e S al piano del cerchio BCDE (Prop.11-11). Queste cadranno su BD e KN, le sezioni comuni dei piani, poiché anche i piani BOD e KON sono ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE. Cadano e siano PV e SW, e si congiunga WV.

E poiché in semicerchi uguali BOD e KON (Prop.3-27), risultano staccate le rette BP e KS, e risultano condotte le perpendicolari PV e SW, allora PV è uguale a SW, e BV è uguale a KW (Prop.1-26). Ma anche BA totale è uguale a KA totale, pertanto anche VA restante è uguale a WA restante. BV sta quindi a VA come KW sta a WA (Prop.5-2). WV è quindi parallella a KB.

E poiché ognuna delle rette PV e SW è ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE, allora PV è parallela a SW (Prop.11-6). Ma è stata dimostrata anche uguale ad essa, pertanto WV e SP sono uguali e parallele (Prop.1-33). E poiché WV è parallela a SP, e WV è parallela a KB, allora anche SP è parallela a KB (Prop.11-9). E le congiungono BP end KS, pertanto il quadrilatero KBPS è in un solo piano, poiché, qualora vi siano due rette parallele, e su entrambe si prendano punti come capita, allora la retta che congiunge i punti è nello stesso piano delle parallele (Prop.11-7). Per gli stessi motivi anche ognuno dei quadrilateri SPQT e TQRU è in un solo piano.

Ma anche il triangolo URO è in un solo piano (Prop.11-2). Se pertanto dai punti P, S, Q, T, R, U fino ad A concepiamo rette congiunte, allora risulterà costruita una certa figura solida poliedrica tra gli archi BO e KO composta di piramidi le cui basi sono i quadrilateri KBPS, SPQT, TQRU e il triangolo URO e vertice il punto A.

E se ripetiano la stessa costruzione nel caso di ognuno dei lati KL, LM, ME come nel caso di BK, e inoltre, nel caso dei tre quadranti restanti, allora sarà costruita una certa figura poliedrica inscritta nella sfera e composta di piramidi, basi le cui basi sono i detti quadrilateri e il triangolo URO e quelli ordinati similmente ad essi, e vertice il punto A.

Dico che il detto poliedro non sarà tangente alla sfera minore secondo la superficie, su cui è il cerchio FGH.

Si conduca AX dal punto A perpendicolare al piano del quadrilatero KBPS, e concorra con il piano in X. Si congiungano XB e XK (Prop.11-11). E poiché AX è ad angoli retti con il piano del quadrilatero KBPS, allora lo è anche con tutte le rette che la incontrano e che sono nel piano del quadrilatero. AX è quindi ad angoli retti con ognuna delle rette BX e XK (Def.11-3).

E poiché AB è uguale a AK, allora il quadrato su AB è uguale al quadrato su AK. E la somma dei quadrati su AX e XB è uguale al quadrato su AB, l'angolo X è infatti retto, e la somma dei quadrati su AX e XK è uguale al quadrato su AK (Prop.1-47). La somma dei quadrati su AX e XB è quindi uguale alla somma dei quadrati su AX e XK.

Si sottragga da ognuno il quadrato su AX, pertanto il restante, il quadrato su BX, è uguale al restante, il quadrato su XK. BX è quindi uguale a XK. Del tutto similmente si dimostra che le rette congiunte da X a P e S sono uguali a ognuna delle rette BX e XK. Il cerchio di centro X e raggio sulla retta XB o XK passa quindi anche per P e S, e KBPS è un quadrilatero in un cerchio.

E poiché KB è maggiore di WV, e WV è uguale a SP, allora KB è maggiore di SP. Ma KB è uguale ad ognuna delle rette KS e BP, pertanto ognuna delle rette KS e BP è maggiore di SP. E poiché KBPS è un quadrilatero in un cerchio, e KB, BP, KS sono uguali, e PS minore, e BX è il raggio del cerchio, allora il quadrato su KB è maggiore del doppio del quadrato su BX. Si conduca KZ da K perpendicolare a BV (Prop.1-12).

E poiché BD è minore del doppio DZ, e BD sta a DZ come il rettangolo DB per BZ sta al rettangolo DZ per ZB, allora se un quadrato è descritto su BZ (Prop.1-46) e si completa il parallelogrammo su ZD, allora anche il rettangolo DB per BZ è minore del doppio del rettangolo DZ per ZB (Prop.3-31). E, se si congiunge KD, allora il rettangolo DB per BZ è uguale al quadrato su BK, e il rettangolo DZ per ZB è uguale al quadrato su KZ. Il quadrato su KB è quindi minore del doppio del quadrato su KZ.

Ma il quadrato su KB è maggiore del doppio del quadrato su BX, pertanto il quadrato su KZ è maggiore del quadrato su BX. E poiché BA è uguale a KA, allora il quadrato su BA è uguale al quadrato su AK. E la somma dei quadrati su BX e XA è uguale al quadrato su BA, e la somma dei quadrati su KZ e ZA è uguale al quadrato su KA, pertanto la somma dei quadrati su BX e XA è uguale alla somma dei quadrati su KZ e ZA (Prop.1-47), e di questi il quadrato su KZ è maggiore del quadrato su BX, pertanto il restante, il quadrato su ZA, è minore del quadrato su XA.

AX è quindi maggiore di AZ. AX è quindi molto maggiore di AG. E AX è la perpendicolare su una sola base del poliedro, e AG sulla superficie della sfera minore, così che il poliedro non tocca la sfera minore secondo la superficie.

   
Corollario E se nell'altra sfera è inscritto un solido poliedrico simile al solido nella sfera BCDE,allora il solido poliedrico nella sfera BCDE ha rispetto al solido poliedrico nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che il diametro della sfera BCDE ha con il diametro dell'altra sfera.
 

Divisi infatti i solidi nelle loro piramidi molteplici e ordinate similmente, le piramidi saranno simili. Ma piramidi simili stanno tra loro nel rapporto triplicato dei loro lati omologhi, pertanto la piramide con base il quadrilatero KBPS e vertice A ha con la piramide ordinata similmente nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che il lato omologo ha con il lato omologo, cioè, di quello che il raggio AB della sfera intorno ad A ha con il raggiio dell'altra sfera.

Analogamente ogni piramide di quelle nella sfera intorno ad A ha con ogni piramide ordinata similmente di quella nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che AB ha con il raggio dell'altra sfera. E uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come tutti gli antecedenti stanno a tutti i conseguenti (Prop.5-12), così che il solido poliedrico totale nella sfera attorno ad A ha con il solido poliedrico totale nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che AB ha con il raggio dell'altra sfera, cioè, di quello che il diametro BD ha con il diametro dell'altra sfera.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna le circonferenze di centro A e raggio AB e AG
  2. strumento Perpendicolare: disegna i diametri BD e CE
  3. strumento Segmento: disegna la corda BE
  4. strumento Punto Medio: segna il punto medio della corda
  5. strumento Semiretta: disegna la semiretta AL, che interseca la circonferenza maggiore in L
  6. strumento Segmento: disegna le corde BL e LE e ripeti la procedura dividendo a metà le due corde
  7. strumento Segmento: disegna i lati BK, KL, LM, ME del poligono regolare nel quadrante BE
  8. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare AO a KN
  9. strumento Arco per tre punti: disegna gli archi BOD e KON
  10. riptere i passi 3-7 per disegnare i segmenti BP, PQ, QR, RO e KS, ST, TU, UO
  11. strumento Segmento: disegna i segmenti PS, QT, RU
  12. strumento Perpendicolare: disegna le perpendicolari PV e SW da P e S a BD e si tracci VW