Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XII

 

PROPOSIZIONE 10

Prop.10 Ogni cono è terza parte del cilindro che ha la sua stessa base e altezza uguale
Dimostrazione
 

Un cono abbia la stessa base, cioè il cerchio ABCD, di un cilindro e la stessa altezza: dico che il cono è terza parte del cilindro, cioè, che il cilindro è il triplo del cono.

Se infatti il cilindro non è triplo del cono, allora il cilindro sarà o maggiore del triplo o minore del triplo del cono. Sia in primo luogo maggiore.

Si inscriva il quadrato ABCD nel cerchio ABCD (Prop.4-6). Allora il quadrato ABCD è maggiore della metà del cerchio ABCD (Prop.12-2). E si eriga sul quadrato ABCD un prisma di uguale altezza del cilindro. Allora il prisma eretto è maggiore della metà del cilindro, poiché se anche circoscriviamo al cerchio ABCD un quadrato (Prop.4-7), il quadrato che risulta inscritto nel cerchio ABCD è metà di quello ad esso circoscritto, e i solidi eretti su di essi sono prismi parallelepipedi id uguale altezza.

E i solidi parallelepipedi sotto la stessa altezza stanno tra loro come le loro basi (Prop.11-32), pertanto anche il prisma eretto sul quadrato ABCD è metà del prisma eretto sul quadrato circoscritto al cerchio ABCD, e il cilindro è minore del prisma eretto sul quadrato circoscritto al cerchio ABCD, pertanto il prisma eretto sul quadrato ABCD e sotto la stessa altezza del cilindro è maggiore della metà del cilindro.

Si sechino a metà gli archi AB, BC, CD, DA nei punti E, F, G, H, e si congiungano AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. Allora ognuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA è maggiore della metà del corrispondente segmento del cerchio ABCD, come dimostrato in precedenza (Prop.12-2).

Su ciascuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA si erigano i prismi di altezza uguale al cilindro. Allora ognuno dei prismi eretti è maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cilindro, poiché appunto se conduciamo per i punti E, F, G, H parallele alle AB, BC, CD, DA (Prop.1-31), e completiamo i parallelogrammi su AB, BC, CD, DA, e su di essi erigiamo solidi parallelepipedi di altezza uguale al cilindro, allora i prismi sui triangoli AEB, BFC, CGD, DHA sono proprio metà di ciascuno dei solidi eretti, a i segmenti del cilindro sono minori dei solidi parallelepipedi eretti: così che anche i prismi sui triangoli AEB, BFC, CGD, DHA sono maggiori della metà dei corrispondenti segmenti del cilindro.

Pertanto, secando a metà gli archi rimasti indietro, congiungendo le rette e erigendo su ciascuno dei triangoli prismi di altezza uguale al cilindro, e facendo questo in successione, faremo restare fuori alcuni segmenti del cilindro che sono minori dell'eccesso con cui il cilindro eccede il triplo del cono (Prop.10-1).

Risultino restati i segmenti e siano AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. pertanto il prisma restante, base del quale è il poligono AEBFCGDH e altezza uguale a quella del cilindro, è maggiore del triplo del cono. Ma il prisma con base il poligono AEBFCGDH e con la stessa altezza del cilindro è il triplo della piramide con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono (Prop.12-7-cor). La piramide con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono è maggiore del cono con base il cerchio ABCD.

Ma è anche minore, è infatti da esso contenuto, il che è impossibile.Il cilindro non è quindi maggiore del triplo del cono.

Dico ora che il cilindro non è neppure minore del triplo del cono.

Se infatti possibile, sil il cilindro minore del triplo del cono. Invertendo quindi il cono è maggiore della terza parte del cilindro. Si inscriva il quadrato ABCD nel cerchio ABCD (Prop.4-6). Il quadrato ABCD è quindi maggiore della metà del cerchio ABCD.

E si eriga sul quadrato ABCD una piramide con lo stesso vertice del cono. La piramide eretta è quindi maggiore della metà del cono, poiché come dimostrato in precedenza, se circoscriviamo un quadrato attorno al cerchio, allora il quadrato ABCD è metà del quadrato circoscritto al cerchio, e se erigiamo sui quadrati solidi parallelepipedi di uguale altezza del cono, che sono anche chiamati prismi, allora il solido eretto sul quadrato ABCD è metà di quello quello eretto sul quadrato circoscritto al cerchio, stanno infatti tra loro come le basi (Prop.11-32).

Così che anche i tripli sono nello stesso rapporto. La piramide con base il quadrato ABCD è quindi metà della piramide eretta sul quadrato circoscritto al cerchio. E la piramide eretta sul quadrato attorno al cerchio è maggiore del cono, infatti lo contiene. La piramide con base il quadrato ABCD e lo stesso vertice del cono è quindi maggiore della metà del cono.

Si sechino a metà gli archi AB, BC, CD, DA nei punti E, F, G, H, e si congiungano AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. Allora ciascuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA è maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cerchio ABCD. E su ognuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA siano erette piramidi con lo stesso vertice del cono. Ognuna delle piramidi così erette, è quindi alla stessa maniera maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cono.

Secando pertanto a metà gli archi rimasti indietro, e congiungendo rette e erigendo su ciascuno dei triangoli piramidi con lo stesso vertice del cono, e ripetendo questo in successione, faremo restare fuori certi segmenti del cono, che saranno minori dell'eccesso con cui il cono eccede la terza parte del cilindro (Prop.10-1).

Risultano rimasti, e siano i segmenti su AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. La piramide restante, quella con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono, è maggiore della terza parte del cilindro. Ma la piramide con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono è una terza parte del prisma con base il poligono AEBFCGDH e sotto la stessa altezza del cilindro; pertanto il prisma con base il poligono AEBFCGDH e sotto la stessa altezza del cilindro è maggiore del cilindro con base circolare ABCD.

Ma è anche minore, è infatti da esso contenuto, il che è impossibile. Il cilindro non è quindi minore del triplo del cono. Ma è stato dimostrato che non è neppire maggiore del triplo. Il cilindro è quindi triplo del cono, così che il cono è terza parte del cilindro.

  Ogni cono è quindi terza parte del cilindro che ha la sua stessa base e altezza uguale.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna una circonferenza di centro O a piacere
  2. strumento Retta: disegna il suo diametro orizzontale
  3. strumento Perpendicolare: disegna il diametro perpendicolare al precedente
  4. strumento Intersezione: segna i punti A, B, C, D intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
  5. strumento Poligono: disegna il quadrato inscritto ABCD
  6. strumento Perpendicolare: disegna le perpendicolari ai lati dal quadrato passanti per il centro
  7. strumento Intersezione: segna i punti E, F, G, H intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
  8. strumento Poligono: disegna l'ottagono AEBFCGDH