Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XII

 

PROPOSIZIONE 1

Prop.1: Poligoni simili inscritti nei cerchi stanno tra loro come i quadrati sui loro diametri
Dimostrazione
 

Siano ABC, FGH cerchi e in essi siano inscritti i poligoni ABCDE, FGHKL e diametri dei cerchi siano BM, GN: dico che il quadrato su BM sta al quadrato su GN come il poligono ABCDE sta al poligono FGHKL.

Si congiungano BE, AM, GL, FN. E poiché il poligono ABCDE è simile al poligono FGHKL, allora l'angolo BAE è uguale all'angolo GFL, e BA sta a AE come GF sta a FL (Def.6-1). BAE e GFL sono quindi due triangoli che hanno un angolo uguale a un angolo, cioè BAE a GFL, e i lati intorno agli angoli uguali proporzionali, pertanto il triangolo ABE è equiangolo al triangolo FGL (Prop.6-6). L'angolo AEB è quindi uguale all'angolo FLG.

Ma l'angolo AEB è uguale all'angolo AMB, insistono infatti sullo stesso arco (Prop.3-27), e l'angolo FLG è uguale all'angolo FNG, pertanto anche l'angolo AMB è uguale all'angolo FNG. Ma anche l'angolo retto BAM è uguale all'angolo retto GFN (Prop.3-31), pertanto l'angolo restante è uguale all'angolo restante (Prop.1-32). Il triangolo ABM è quindi equiangolo al triangolo FGN.

In proporzione quindi BM sta a GN come BA sta a GF (Prop.6-4). Ma il rapporto tra i quadrato su BM e il quadrato su GN è raddoppiato di quello tra BM e GN, e il rapporto tra il poligono ABCDE e il poligono FGHKL è raddoppiato di quello tra BA e GF (Prop.6-20).

Il quadrato su BM sta quindi al quadrato su GN come il poligono ABCDE sta al poligono su FGHKL.

  Poligoni simili inscritti nei cerchi stanno quindi tra loro come i quadrati sui loro diametri.

.

La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna la circonferenza di diametro BM
  2. strumento Poligono: disegna il poligono inscritto ABCDE
  3. strumento Punto: segna il punto G
  4. strumento Segmento: disegna il segmento FG
  5. strumento Angolo: segna l'angolo ABC
  6. strumento Angolo di misura data: disegna l'angolo FGH
  7. strumento Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GH = FGxBC/AB
  8. ripeti la procedura per ottenere i lati del secondo poligono simile
  9. strumento Segmento: disegna i segmenti BE, AM, BM
  10. strumento Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta a FGHKL
  11. sulla linea di comando centro[FGHKL]
  12. strumento Segmento: disegna i segmenti GN, GL, FN