Gli "Elementi" di Euclide

Libro XII


INTRODUZIONE AL LIBRO XII

Il Libro XII si occupa dei rapporti tra cerchi, piramidi, coni, cilindri e sfere. Una parte di questi teoremi corrispondono a proposizioni già dimostrate nel Libro VI, riguardando relazioni tra figure piane simili. Questo libro non si presenta come una parte atta ad introdurre la misura dei volumi di alcuni solidi, ma tutti i risultati ottenuti sono formulati sotto forma di proporzioni tra due figure della stessa classe.

Il Libro XII contiene 18 proposizioni.

PROPOSIZIONI

Prop. 1: Poligoni simili inscritti nei cerchi stanno tra loro come i quadrati sui loro diametri.
Prop. 2: I cerchi stanno tra loro come i quadrati sui loro diametri.
Prop. 3: Ogni piramide a base triangolare si divide in due piramidi che hanno basi triangolari sia uguali che simili tra loro che simili a quella totale e in due prismi uguali; e i due prismi sono maggiori della metà della piramide totale.
Prop. 4: Se vi sono due piramidi sotto la stessa altezza con basi triangolari, e ognuna di esse è divisa in due due piramidi uguali tra loro e simili alla totale, e in due prismi uguali, allora la base di una piramide sta alla base dell'altra piramide comme tutti i prismi in una sola piramide stanno a tutti i prismi equimolteplici nell'altra piramide.
Prop. 5: Le piramidi che sono sotto la stessa altezza con basi triangolari stanno tra loro come le basi.
Prop. 6: Le piramidi che sono sotto la stessa altezza con basi poligonali stanno tra loro come le basi.
Prop. 7: Ogni prisma con una base triangolare si divide in tre piramidi uguali tra loro con basi triangolari.
Corollario: Ogni piramide è la terza parte del prisma con la stessa base e sotto la stessa altezza.
Prop. 8: Piramidi simili con basi triangolari sono in rapporto triplicato di quello dei lati omologhi.
Corollario: Piramidi simili con basi poligonali sono tra loro in rapporto triplicato di quello dei lati omologhi.
Prop. 9: Le basi delle piramidi uguali e che hanno basi triangolari sono in relazione inversa alle altezze; e quelle piramidi che hanno basi triangolari le cui basi sono in relazione inversa alle altezze, sono uguali.
Prop. 10: Ogni cono è terza parte del cilindro che ha la sua stessa base e altezza uguale.
Prop. 11: Coni e cilindri che sono sotto la stessa altezza stanno tra loro come le basi.
Prop. 12: Coni e cilindri simili sono tra loro in rapporto triplicato di quello dei diametri delle loro basi.
Prop. 13: Se un cilindro è secato da un piano parallelo ai piani opposti, allora il cilindro sta al cilindro come l'asse rispetto all'asse.
Prop. 14: Coni e cilindri che sono su basi uguali stanno tra loro come le altezze.
Prop. 15: Le basi dei coni e cilindri uguali sono in relazione inversa alle altezze; e quei coni e cilindri le cui basi sono in relazione inversa alle altezze sono uguali.
Prop. 16: Dati due cerchi intorno allo stesso centro, inscrivere nel cerchio maggiore un poligono sia equilatero che con un numero pari di lati che non tocca il cerchio minore.
Prop. 17:
Date due sfere intorno alla stesso centro, inscrivere nella sfera maggiore un solido poliedrico che non tocchi la superficie della sfera minore.
Prop. 18: Le sfere sono tra loro in rapporto triplicato di quello dei propri diametri.

su