Gli "Elementi" di Euclide

Libro XI


INTRODUZIONE AL LIBRO XI

Il Libro XI torna a trattare la geometria, dopo la teoria dei numeri e delle proporzioni. Introduce, infatti, lo studio della geometria solida elementare: relazioni piani e rette nello spazio, angoli solidi, prismi. Il confronto tra le figure solide definite può essere fatto senza ricorrere al concetto di infinito, perché è ancora possibile ricorrere alla scomposizione in parti più piccole in numero finito.

Le prime proposizioni possono essere intese come un ampliamento dei postulati inizialmente introdotti.

Il Libro XI contiene 28 definizioni e 39 proposizioni.

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DEFINIZIONI

Def. 1: Un solido è ciò che ha lunghezza, larghezza e profondità
Def. 2: E limite di un solido è la superficie
Def. 3: Una retta è ortogonale a un piano quando forma angoli retti rispetto a tutte le rette che la toccano e che sono in quel piano
Def. 4: Un piano è ortogonale a un piano quando le rette condotte in uno solo dei piani ad angoli retti con la sezione comune dei piani sono ad angoli retti con il restante piano.
Def. 5: L'inclinazione di una retta rispetto a un piano è, quando si conduce dal limite superiore della retta una retta perpendicolare al piano, e si congiunge una retta dal punto risultante fino al limite nel piano della retta, l'angolo compreso dalla retta condotta e da quella che sta su
Def. 6: L'inclinazione di un piano rispetto a un piano è l'angolo acuto compreso dalle rette condotte ad angoli retti con l'intersezione nello steso punto, in uno e nell'altro dei piani
Def. 7: Un piano rispetto a un piano e un altro rispetto ad un altro sono detti similmente inclinati, quando i detti angoli delle inclinazioni sono uguali tra loro
Def. 8: I piani paralleli sono quelli che non si incontrano
Def. 9: Figure solide simili sono quelle comprese da piani simili uguali in molteplicità
Def. 10: Figure solide e simili sono quelle comprese da piani simili uguali in molteplicità e in grandezza
Def. 11: Un angolo solido è l'inclinazione rispetto a tutte le rette compresa da più che due rette che si toccano tra loro e non sono nella stessa superficie, cioè, un angolo solido è quello che è compreso da più di due angoli piani che non sono nello stesso piano e costruiti su un solo punto
Def. 12: Una piramide è una figura solida compresa da piani, costruita da un solo piano a un solo punto
Def. 13: Un prisma è una figura solida compresa sa piani due dei quali, cioè quelli opposti, sono uguali, simili, e paralleli, mentre i restanti sono parallelogrammi
Def. 14: Una sfera è, quando stando fermo il diametro di un semicerchio, il semicerchio ruotato ritorna di nuovo nello stesso luogo da cui aveva iniziato a muoversi, la figura circondata
Def. 15: L'asse della sfera è la linea retta che sta ferma, intorno alla quale gira il semicerchio
Def. 16: Il centro della sfera è lo stesso del semicerchio
Def. 17: Un diametro della sfera è ogni retta condotta per il centro e delimitata dall'una e dall'altra parte dalla superficie della sfera
Def. 18: Cono è, quando stando fermo un solo lato di quelli attorno all'angolo retto di un triangolo rettangolo, il triangolo ruotato torna di nuovo nello stesso luogo da cui aveva iniziato a muoversi, la figura cirocondata. E, se la retta che rimane ferma è uguale alla restante, quella che ruota intorno all'angolo retto, il cono sarà rettangolo; se minore, ottusangolo; e se maggiore, acutangolo
Def. 19: L'asse del cono è la retta che rimane ferma e attorno alla quale gira il triangolo
Def. 20: E la base è il cerchio tracciato dalla retta che ruota
Def. 21: Cilindro è, quando stando fermo un solo lato di quelli intorno all'angolo retto di un parallelogrammo rettangolo, il parallelogrammo ruotato ritorna di nuovo nello stesso luogo da cui aveva iniziato a muoversi, la figura circondata
Def. 22: L'asse del cilindro è la retta che rimane ferma e attorno alla quale gira il parallelogrammo
Def. 23: E le basi sono i cerchi tracciati dai due lati opposti condotti attorno
Def. 24: Coni e cilindri simili sono quelli dei quali sia gli assi che i diametri della basi sono in proporzione
Def. 25: Un cubo è una figura solida compresa da sei quadrati
Def. 26: Un ottaedro è una figura solida compresa da otto triangoli equilateri uguali
Def. 27: Un icosaedro è una figura solida compresa da ventri triangoli equilateri uguali
Def. 28: Un dodecaedro è una figura solida compresa da dodici pentagoni equilateri e equiangoli uguali
   

PROPOSIZIONI

Prop. 1: Di una linea retta una certa parte non può essere nel piano di riferimento e una parte più in alto
Prop. 2: Se due rette si secano tra loro, allora sono in un solo piano; e ogni triangolo è in un solo piano
Prop. 3: Se due piani si secano tra loro, allora la loro intersezione è una retta
Prop. 4: Se una retta sta sulla sezione comune ad angoli retti con due rette che si secano tra loro, allora sarà ad angoli retti anche con il piano per esse
Prop. 5: Se una retta sta sulla sezione comune ad angoli con tre rette che si secano tra loro, allora le tre rette sono in un solo piano
Prop. 6: Se due rette sono ad angoli retti con lo stesso piano, allora le rette sono parallele
Prop. 7: Se due rette sono parallele e sono presi su una e l'altra di esse punti come càpita, allora la retta che congiunge i punti è nello stesso piano delle parallele
Prop. 8: Se due rette sono parallele, e una di esse è ad angoli retti con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano
Prop. 9: Le parallele alla stessa retta e che non sono nel suo stesso piano sono anche parallele tra loro
Prop. 10: Se due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali
Prop. 11: Condurre dal punto alto dato una linea retta perpendicolare al piano dato
Prop. 12: Innalzare dal punto dato su di esso una linea retta ad angoli retti con il piano dato
Prop. 13: Dallo stesso punto non si innalzano dalla stessa parte due rette ad angoli retti con lo stesso piano
Prop. 14: Piani ai quali una stessa retta è ortogonale, sono paralleli
Prop. 15: Se due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora i piani per esse sono paralleli
Prop. 16: Se due piani paralleli sono secati da un certo piano, allora le loro intersezioni sono parallele
Prop. 17: Se due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti
Prop. 18: Se una retta è ad angoli retti con un certo piano, allora anche tutti i piani per essa sono ad angoli retti con lo stesso piano
Prop. 19: Se due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano
Prop. 20: Se un angolo solido è compreso da tre angoli piani, allora la somma di due qualsivoglia è maggiore del restante
Prop. 21: Ogni angolo solido è compreso da angoli piani la cui somma è minore di quattro retti
Prop. 22: Se vi sono tre angoli piani tali che la somma di due qualsiasi è maggiore di quello restante, e che sono compresi da rette uguali, allora è possibile costruire un triangolo dalle congiungenti le rette uguali
Prop. 23: Se vi sono tre angoli piani tali che la somma di due qualsiasi è maggiore di quello restante, e che sono compresi da rette uguali, allora è possibile costruire un triangolo dalle congiungenti le rette uguali
Prop. 24: Se un solido è compreso da piani paralleli, allora i piani opposti ad esso sono uguali e parallelogrammi
Prop. 25: Se un parallelepipedo solido è secato da un piano parallelo ai piani opposti, allora la base sta alla base come il solido sta al solido
Prop. 26: Costruire, sulla retta data e su un punto su di essa un angolo solido uguale all'angolo solido dato
Prop. 27: Descrivere sulla retta data un parallelepipedo solido simile e similmente posto a un parallelepipedo dato
Prop. 28: Se un parallelepipedo solido è secato da un piano secondo le diagonali dei piani opposti, allora il solido è secato a metà dal piano
Prop. 29: Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su sono sulle stesse rette, sono uguali tra loro
Prop. 30: Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su non sono sulle stesse rette, sono uguali tra loro
Prop. 31: Solidi parallelepipedi che sono su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro
Prop. 32: Solidi parallelepipedi che sono sotto la stessa altezza stanno tra loro come le loro basi
Prop. 33: Solidi parallelepipedi simili sono tra loro in rapporto triplicato rispetto a quello dei lati omologhi.
Corollario: Se quattro rette sono in proporzione, allora la prima sta alla quarta come un parallelepipedo solido sulla prima sta al parallelepipedo solido simile e similmente posto sulla seconda, poiché anche la prima ha con la quarta il rapporto triplicato di quello che ha con la seconda
Prop. 34: In solidi parallelepipedi uguali le basi sono in relazione inversa alle altezze; e quei parallelepipedi solidi nei quali le basi sono in relazione inversa alle altezze sono uguali
Prop. 35: Se vi sono due angoli piani uguali, e sui loro vertici stanno su rette alte che comprendono angoli rispettivamente uguali con le rette in origine, e se su quelle alte sono presi punti come càpita e da essi perpendicolari ai piani in cui sono le rette in origine sono condotte rette, e dai punti che risultano nei piani fino agli angoli in origine sono congiunte rette, allora esse comprenderanno angoli uguali con quelle alte
Prop. 36: Se tre rette sono in proporzione, allora il parallelepipedo solido che risulta dalle tre è uguale al parallelepipedo solido sulla media che è equilatero e equiangolo con il predetto
Prop. 37: Se quattro rette sono in proporzione, allora anche solidi parallelepipedi sia simili sia similmente descritti su di esse sono in proporzione; e, se i solidi parallelepipedi sia simili che similmente descritti su di esse sono in proporzione, allora anche le stesse rette sono in proporzione
Prop. 38: Se i lati dei piani opposti di un cubo sono secati a metà, e per le sezioni sono prolungati piani, allora la sezione comune dei piani e la diagonale del cubo si secano a metà tra loro
Prop. 39: Se vi sono due prismi di uguale altezza, e uno ha come base un parallelogrammo e l'altro un triangolo, e se il parallelogrammo è doppio del triangolo, allora i prismi sono uguali

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