Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO X

 

PROPOSIZIONE 1

Prop.1: Fissate due grandezze disuguali, se dalla maggiore è sottratta una grandezza maggiore della sua metà, e dalla parte restante una grandezza maggiore della sua metà, e così si procede successivamente, allora rimarrà una certa grandezza minore della grandezza minore fissata
Dimostrazione
 

Siano AB e C due grandezze disuguali, con AB maggiore di C: dico che se da AB si sottrae una grandezza maggiore della sua metà, e da quella rimasta una grandezza maggiore della sua metà, e se si procede in successione, allora rimarrà una certa grandezza minore della grandezza C.

Se si prendono multipli di C, si avrà un multiplo DE maggiore di AB (Def.5-4). Si divida DE nelle parti DF, FG, GE uguali a C. Da AB si sottragga BH maggiore della sua metà, e da AH si sottragga HK maggiore della sua metà, e si proceda successivamente finché le divisioni in AB sono uguali in molteplicità alle divisioni in DE.

Siano dunque , AK, KH, HB le divisioni uguali in molteplicità con DF, FG, GE. Ora, poiché DE è maggiore di AB, e da DE è stata sottratta EG minore della sua metà, e, da AB, BH maggiore della sua metà, allora la restante GD è maggiore della restante HA.

E poiché GD è maggiore di HA, e sono state sottratte da GD la metà GF, e da HA, HK maggiore della sua metà, allora la restante DF è maggiore della restante AK. Ma DF è uguale a C, pertanto anche C è maggiore di AK. Quindi AK è minore di C.

Resta quindi fuori dalla grandezza AB la grandezza AK che è minore della minore grandezza fissata C.

E similmente sarà dimostrato anche se le grandezze sottratte sono metà.

   

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti AB, C
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DE = 3xC
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia i punti F a distanza C da D e G a distanza 2C da D
  5. strumento Punto Medio: traccia il punto medio di AB
  6. strumento Punto: disegna il punto H appartenente al segmento metà di AB
  7. strumento Segmento: disegna il segmento BH
  8. strumento Punto Medio: traccia il punto medio di AH
  9. strumento Punto: traccia il punto K appartenente al segmento metà di AH
  10. strumento Segmento: disegna il segmento HK
  11. nascondi i punti medi

 

Questa proposizione è il fondamento del metodo di esaustione nel Libro XII. Non è più usato nel resto del Libro X. Il teorema afferma che operando su due grandezze (omogenee) di cui una maggiore, è possibile ricavarne sempre una minore di una qualsiasi minore fissata (in questo caso indicata con C), cioè esiste sempre il più piccolo del più piccolo.

Questa proposizione è utilizzata nel Libro X.