Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO X

 

DEFINIZIONI 1 - 4

 

Def.1: Grandezze commensurabili sono quelle misurate con la stessa misura, incommensurabili quelle che non possono avere una misura comune
 

Diamo la definizone nella notazione moderna: due grandezze omogenee A e B si dicono commensurabili se esiste una terza grandezza C, omogenea rispetto ad A e B, tale che A e B siano multipli interi di C, cioè tali che

A = nC e B = mC, con n e m numeri naturali.

Si può anche scrivere che il rapporto tra A e B è espresso da un numero razionale (esprimibile quindi mediante una frazione); cioè

A/B = n/m

Def.2: Rette sono commensurabili in potenza quando i quadrati su di esse sono misurati dalla stessa area, e incommensurabli in potenza quando i quadrati su di esse non possono avere una possibile area come misura comune
  L'esempio più famoso legato a questa definzione è quello del rapporto tra diagonale (d) e lato (l) di un quadrato. Il rapporto tra i due è esprimibile mediante un irrazionale (la radice di 2), mentre il rapporto tra le aree dei quadrati costruiti sui due segmenti è uguale a 2 e quindi commensurabile.
Def.3: Supposto ciò, si dimostra che vi sono rette illimitate in molteplicità sia commensurabili che incommensurabili con la retta proposta, alcune solo in lunghezza, altre anche in potenza. Sia chiamata razionale la retta assegnata, e razionali quelle con essa commensurabili, sia in lunghezza che in potenza, o solo in potenza, e irrazionali quelle che sono incommensurabili con questa.
 

La dimostrazione annunciata si trova nella proposizione 10 .

In Euclide i termini "razionale" e "irrazionale" non si riferiscono ad insiemi numerici, come oggi, ma stanno per commensurabile e incommensurabile. In particolare, se si sceglie una linea come riferimento, allora un'altra è detta razionale se è commensurabile in potenza, e irrazionale nel caso contrario.

Def:4: E sia detto razionale il quadrato sulla retta assegnata, e razionali quelle aree che sono commensurabili con essa , e irrazionali quelle che sono incommensurabili con essa, e irrazionali le rette che le producono, cioè, nel caso le aree sono quadrati, i lati stessi, ma nel caso sono altre figure rettilinee, le rette sulle quali sono descritti quadrati uguali ad esse.
  Sebbene Euclide utilizzi il termine "razionale" in modo insolito per le linee, lo usa nel modo comune per le aree, cosicché un'area è razionale se è commensurabile con il quadrato di riferimento, e irrazionale nel caso contrario.